Protocole de construction des rectangles

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que   \(a .
On considère une fonction \(f\) strictement croissante et positive sur \([a~;~b]\) .
Soit \(\mathscr C\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
On cherche à calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine \(\mathscr D\) délimité par la courbe  \(\mathscr C\) , l'axe des abscisses et les droites d'équations  \(x=a\)  et  \(x=b\) .

Méthode

• Première étape : subdivision de l'intervalle
  

Soit \(n\) et \(h\) deux entiers strictement positifs.
On divise l'intervalle   \([a~;~b]\) en \(n\) intervalles de longueur égale \(h\) .
On dit que \(n\) est le nombre de subdivisions de l'intervalle \([a~;~b]\) .
Le nombre \(h\) est appelé pas de subdivision. On a donc \(h = \dfrac{b - a}{n}\) .
Par exemple, l'intervalle \([1~;~4]\) est de longueur  \(3\) (car \(\) \(4−1 = 3\) ).
Si \(n = 3\) alors  \(h = 1\) .

• Seconde étape : construction des rectangles inférieurs
  

On pose \(x_0=a\) et \(x_n=b\) .
On considère les points \(\text A_0\) de coordonnées \((x_0~;~f (x_0))\) , \(\text B_0\) de coordonnées \((x_0~;~0)\) , \(\text B_1\) de coordonnées \((x_0 +h~;~0)\) et \(\text C_0\) de coordonnées \((x_0 +h~;~f (x_0))\) .
On s'intéresse au rectangle \(\text A_0\text B_0 \text B_1\text C_0\) .
Son aire, en unités d'aire, est \(\text A_0\text B_0 ×\text B_0\text B_1 = f (x_0)×h\) .

Soit \(\text A_1\) le point de \(\mathscr C\) de même abscisse que \(\text B_1\)  (et \(\text C_0\) ).
On a donc \(\text A_1(x_0 +h~;~f (x_0 +h))\) .
On construit, selon le même procédé, le rectangle \(\text A_1\text B_1\text B_2\text C_1\) .
Son aire, en unité d'aire, est \(\text A_1\text B_1 ×\text B_1\text B_2 = f (x_0 +h)×h\) .
De la même manière, l'aire du rectangle suivant est : \(f (x_0 +2h)×h\) .
On réitère ainsi le processus \(n\) fois.
En sommant les aires des \(n\) rectangles obtenus, on obtient une approximation de l'aire, en unité d'aire, du domaine \(\mathscr D\) par valeurs inférieures.